BLOQUE 4: 2014

lunes, 6 de enero de 2014

FACTORIZACION

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.

FACTORIZACION DE UN POLINOMIO

Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como mucho $\scriptstyle m \le n$ factores o polinomios de grado $\scriptstyle n_k \le n$ con $\scriptstyle 1 \le k \le m$ . Así por ejemplo el polinomio P(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:

$P(x) = x^5-x^3+69x^2-20x+16 = (x^3+4x^2-x+1)(x^2-4x+16)\,$

FACTORIZACION DE TRINOMIOS

En álgebra, un trinomio es un polinomio expresado como la suma de 3 componentes, o términos. El tipo más común de trinomio es el cuadrático (ax^2+bx+c), pero no todos los trinomios son cuadráticos. Algunos tienen múltiples variables o términos de grados altos.

Los polinomios tienen un número de aplicaciones en las matemáticas y la ciencia, y la habilidad para factorizar trinomios puede aplicarse en muchos campos que requieran habilidad algebraica. Aquí te damos algunos pasos para factorizar trinomios. Hay casos especiales en que los trinomios pueden factorizarse. Si ninguno de estos aplica, puede ser necesario aplicar un método más general para factorizar polinomios de alto grado.

1. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

· − 8 + 16

es el cuadrado de

16 es el cuadrado de 4

2 y 4 es igual a 8y

Por lo tanto:

y − 8y + 16 = y − 4

El signo es negativo porque −8y es negativo.

· 1 + 49% − 14%

Podemos ordenar el trinomio convenientemente: 49% − 14% + 1

49a es el cuadrado de 7a

1 es el cuadrado de 1

2 7a 1 = 14a

Por lo tanto:

49a − 14a + 1 = 7a − 1

El signo es negativo porque −14a es negativo.

· 4( − 12( + 9

4x es el cuadrado de 2x

9y es el cuadrado de 3y

2 2x 3y = 12xy

Por lo tanto:

4x − 12xy + 9y = 2x − 3y

El signo es negativo porque −12xy es negativo.

· +,

− %- + -

es el cuadrado de +

b es el cuadrado de b

2 /%

20 b = ab

Por lo tanto:

4 − %- + - = %

2 − b

El signo es negativo porque −ab es negativo.

· 1

( + 2( +1

x es el cuadrado de 2

y es el cuadrado de 2

2 332

x4323

y4 = 2xy

Por lo tanto:

x + 2xy +49

y = 332

x +23

El signo es positivo porque 2xy es positivo.

2. Factorización de un trinomio de la forma x + bx + c

· − 4 + 3

Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -4 y cuyo producto

sea 3:

-1 y -3 suman -4

-1 por -3 es igual a 3

Por lo tanto:

− 4 + 3 = − 1 − 3

· 20 + % − 21%

Primero, ordenamos el trinomio convenientemente: % − 21% + 20

Ahora, tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -21 y cuyo

producto sea 20:

-1 y -20 suman -21

-1 por -20 es igual a 20

Por lo tanto:

% − 21% + 20 = % − 1 % − 20

· ( − 8( + 15

Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -8 y cuyo producto

sea 15:

-3 y -5 suman -8

-3 por -5 es igual a 15

Por lo tanto:

( − 8( + 15 = ( − 3 ( − 5

· %= − 7%2 + 10

Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -7 y cuyo producto

sea 10:

-2 y -5 suman -7

-2 por -5 es igual a 10

Por lo tanto:

%= − 7%2 + 10 = %2 − 2 %2 − 5

· > − 30> − 675

Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -30 y cuyo

producto sea -675:

15 y -45 suman -30

15 por -45 es igual a -675

Por lo tanto:

> − 30> − 675 = > + 15 > − 45

Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma

a2+2ab+b2

Para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto se debe:

1.- Identificar los dos términos que son cuadrados perfectos obteniéndoles su

raíz cuadrada.

2.- El tercer término corresponde al doble producto de la raíz cuadrada de los

dos términos del punto anterior.

Si se tiene al trinomio

a2+2ab+b2

se identifican los dos términos que son cuadrados perfectos

a2=a

b2=b

el tercer término corresponde al doble producto de las raíces de los dos

2ab

Por lo tanto a2+2ab+b2 es un trinomio cuadrado perfecto.

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:

1. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos

del trinomio.

2. Se anotan los dos términos anteriores como una suma algebraica

elevada al cuadrado.

Lo anterior queda expresado como

a2+2ab+b2=(a+b)2

Ejemplo 1

Factorizar y2+6yw+9w2

Solución

Se investiga si el trinomio es cuadrado perfecto.

La raíz cuadrada de y2 es y

La raíz cuadrada de 9w2 es 3w

El doble del producto de ambas raíces es 2(y)(3w)=6yw.

Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto y la factorización es:

a2 + 2ab + b2 = (y+3w)2

PRODUCTOS NOTABLES

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.

CUADRADO DE UN BINOMIO

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

$(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,$

Un trinomio de la expresión siguiente: $a^2 + 2 a b + b^2 \;$ se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

$(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,$

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:

$(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,$

Simplificando:

$(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,$

POLONIMIO AL CUADRADO

Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

$(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,$

$(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,$

Ejemplo:

$(3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,$

Multiplicando los monomios:

$(3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,$

$+ 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,$

$+ (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,$

Agrupando términos:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,$

Luego:

$(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,$

CUBO DE UN BINOMIO

Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.

El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.

El cubo del segundo término.

$(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,$

Identidades de Cauchy:

$(a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \,$

Ejemplo:

$(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,$

Agrupando términos:

$(x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \,$

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:

El cubo del primer término.

Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.

Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.

Menos el cubo del segundo término.

$(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,$

Identidades de Cauchy:

$(a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) \,$

Ejemplo:

$(x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 \,$

Agrupando términos:

$(x-2y)^3 = x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 \,$

FACTOR COMUN

El resultado de multiplicar un binomio $a+b$ por un término $c$ se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

$c (a + b) = c a + c b \,$

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es

$c (a + b) \,$ (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: $ca$ y $cb$

Ejemplo:

$3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,$

POLINOMIOS DE UNA VARIABLE

En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos 'regla, prescripción, distribución', a través del latín polynomius) es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operacione aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.

Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría algebraica.

Consideramos un “Polinomio” en el álgebra a aquella estructura finita conformada por uno o más términos.

Donde tales términos son denominados (Racionales enteros), cuando se afirma que los coeficientes se encuentran unidos con las incógnitas por medio de una operación unica, la multiplicación. Anexando que término a término se encuentran unidos bajo operaciones elementales: Suma y Resta.

Algunos textos citan a tales operaciones como “Conectores” o “Operaciones binarias”.

De lo contrario si las incógnitas se encuentran unidas con los coeficientes mediante el empleo de operaciones alternas a la multiplicación como es el caso de las operaciones: Radicación , División , etc. se acostumbra denominar a tal estructura como: Multinomio.

El hecho de la afirmación (Una variable) da a conocer que tal estructura se encuentra unicamente ligada bajo una sola clase de incógnitas como es el caso siguiente:

Donde claramente se puede observar que existe solo una clase las (x). Cabe recordar que denominamos incógnita a un valor desconocido y el proceso de obtener las raíces de un polinomio implica conocer el valor de las incógnitas.

Otros concepto clave dentro de todo esto es: coeficiente, el cual denota la cantidad de veces que se posee un mismo termino..

Partiendo del concepto de estructura algebraica con enfoque a la idea de polinomio se va creado una clasificación con el fin de facilitar el hecho de la identificación o bién la manipulación de estas con diversos propositos. Por ejemplo:

- Monomio -

Expresión algebraica con un solo término.

- Binomio -

Expresión algebraica con dos términos.

- Trinomio -

Expresión algebraica con tres términos.

- Polinomio -

Expresión algebraica con uno o más términos.

Es percibible la idea de polinomio como la generalización de la idea de estructura algebraica despues de ciertos margenes.. Una característica peculiar de las estructuras es que es posible obtener un monomio de un binomio siempre y cuando las propiedades de estas lo permitan.

EJEMPLO

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como $\scriptstyle\mathbb{R}$ o $\scriptstyle\mathbb{C}$ , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero y $n \in \mathbb{N}$ , entonces un polinomio, $P_{}^{}$ , de grado n en la variable x es un objeto de la forma

$P(x)_{}^{} =$ $a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.$

Un polinomio $P(x) \in K[x]$ no es más que una sucesión matemática finita $\left\{{a_n}\right\}_n$ tal que $a_n \in K$ .
Representado como:
$P(x)_{}^{}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$
el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.$

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.