lunes, 6 de enero de 2014

PRODUCTOS NOTABLES


 

 

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
 
 

CUADRADO DE UN BINOMIO
 
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,
Un trinomio de la expresión siguiente: a^2 + 2 a b + b^2 \; se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,
En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:
(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,
Simplificando:
(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,
 
 
 
POLONIMIO AL CUADRADO
 
 
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,
(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,
Ejemplo:
(3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,
Multiplicando los monomios:
(3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,
+ 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,
+ (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,
Agrupando términos:
(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,
Luego:
(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,
 
CUBO DE UN BINOMIO
 
Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:
  • El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
  • El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
  • El cubo del segundo término.
(a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \,
Identidades de Cauchy:
(a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) \,
Ejemplo:
(x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 \,
Agrupando términos:
(x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 \,
Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:
  • El cubo del primer término.
  • Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
  • Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
  • Menos el cubo del segundo término.
(a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \,
Identidades de Cauchy:
(a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) \,
Ejemplo:
(x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 \,
Agrupando términos:
(x-2y)^3 = x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 \,
 
 
 
 
 FACTOR COMUN
 

 
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
c (a + b) = c a + c b \,
Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es
c (a + b) \, (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb
Ejemplo:
3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,

 
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