FACTORIZACION DE TRINOMIOS

 

En álgebra, un trinomio es un polinomio expresado como la suma de 3 componentes, o términos. El tipo más común de trinomio es el cuadrático (ax^2+bx+c), pero no todos los trinomios son cuadráticos. Algunos tienen múltiples variables o términos de grados altos.

 

Los polinomios tienen un número de aplicaciones en las matemáticas y la ciencia, y la habilidad para factorizar trinomios puede aplicarse en muchos campos que requieran habilidad algebraica. Aquí te damos algunos pasos para factorizar trinomios. Hay casos especiales en que los trinomios pueden factorizarse. Si ninguno de estos aplica, puede ser necesario aplicar un método más general para factorizar polinomios de alto grado.

 

 

1. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

· − 8 + 16

es el cuadrado de

16 es el cuadrado de 4

2 y 4 es igual a 8y

Por lo tanto:

y − 8y + 16 = y − 4

El signo es negativo porque −8y es negativo.

· 1 + 49% − 14%

Podemos ordenar el trinomio convenientemente: 49% − 14% + 1

49a es el cuadrado de 7a

1 es el cuadrado de 1

2 7a 1 = 14a

Por lo tanto:

49a − 14a + 1 = 7a − 1

El signo es negativo porque −14a es negativo.

· 4( − 12( + 9

4x es el cuadrado de 2x

9y es el cuadrado de 3y

2 2x 3y = 12xy

Por lo tanto:

4x − 12xy + 9y = 2x − 3y

El signo es negativo porque −12xy es negativo.

· +,

− %- + -

+,

es el cuadrado de +

b es el cuadrado de b

2 /%

20 b = ab

Por lo tanto:

%

4 − %- + - = %

2 − b

El signo es negativo porque −ab es negativo.

· 1

( + 2( +1

1

x es el cuadrado de 2

x

1

y es el cuadrado de 2

y

2 332

x4323

y4 = 2xy

Por lo tanto:

94

x + 2xy +49

y = 332

x +23

y4

El signo es positivo porque 2xy es positivo.

2. Factorización de un trinomio de la forma x + bx + c

· − 4 + 3

Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -4 y cuyo producto

sea 3:

-1 y -3 suman -4

-1 por -3 es igual a 3

Por lo tanto:

− 4 + 3 = − 1 − 3

· 20 + % − 21%

Primero, ordenamos el trinomio convenientemente: % − 21% + 20

Ahora, tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -21 y cuyo

producto sea 20:

-1 y -20 suman -21

-1 por -20 es igual a 20

Por lo tanto:

% − 21% + 20 = % − 1 % − 20

· ( − 8( + 15

Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -8 y cuyo producto

sea 15:

-3 y -5 suman -8

-3 por -5 es igual a 15

Por lo tanto:

( − 8( + 15 = ( − 3 ( − 5

· %= − 7%2 + 10

Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -7 y cuyo producto

sea 10:

-2 y -5 suman -7

-2 por -5 es igual a 10

Por lo tanto:

%= − 7%2 + 10 = %2 − 2 %2 − 5

· > − 30> − 675

Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -30 y cuyo

producto sea -675:

15 y -45 suman -30

15 por -45 es igual a -675

Por lo tanto:

> − 30> − 675 = > + 15 > − 45

Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma

 

a2+2ab+b2

Para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto se debe:

1.- Identificar los dos términos que son cuadrados perfectos obteniéndoles su

raíz cuadrada.

2.- El tercer término corresponde al doble producto de la raíz cuadrada de los

dos términos del punto anterior.

Si se tiene al trinomio

a2+2ab+b2

se identifican los dos términos que son cuadrados perfectos

a2=a

b2=b

el tercer término corresponde al doble producto de las raíces de los dos

anteriores

2ab

Por lo tanto a2+2ab+b2 es un trinomio cuadrado perfecto.

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:

1. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos

del trinomio.

2. Se anotan los dos términos anteriores como una suma algebraica

elevada al cuadrado.

Lo anterior queda expresado como

 

a2+2ab+b2=(a+b)2

 
 
 

Ejemplo 1

 
 

Factorizar y2+6yw+9w2

 
 
 

Solución

 
 

Se investiga si el trinomio es cuadrado perfecto.

 

La raíz cuadrada de y2 es y

La raíz cuadrada de 9w2 es 3w

 
 

El doble del producto de ambas raíces es 2(y)(3w)=6yw.

Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto y la factorización es:

 
a2 + 2ab + b2 = (y+3w)2